慶應理工の4次元トポロジー 特異点に着目して４次元空間を理解する

「4次元多様体の場合、『位相構造』と『微分構造』とで大きな違いが現れることに強い興味を抱きました」と早野さん。
「位相構造とは、多様体を構成する各点の『つながり方』のみに着目して定義される構造をいいます。一方、多様体をさらに細かく分類するときに使うのが、形の“滑らかさ”による微分構造です。微分構造は位相構造の一種で、多様体の形に関して、より詳しい情報を持っています」と早野さん。
高校までで習うユークリッド幾何学では、辺の長さや角度によって図形を分類する。一方、トポロジーにおいても、「多様体に、微分構造のような付加的な構造を与えて、その構造も込めて分類したいというモチベーションがあります」と早野さん。
「トポロジーの世界では、2次元多様体において、『コーヒーカップとドーナツは同じものだ』と言われます。いずれも穴が1個で、変形していくと同じ形に行き着くからです。これは、多様体を構成する各点の“つながり方”に着目した位相構造による分類です。残念ながら、3次元以下の多様体では位相構造と微分構造との差が現れないので、私たちは実感することができませんが、4次元多様体は、位相構造と微分構造の違いが顕著なのです」と早野さん。
さらに、4次元多様体の「複素構造」にも興味があるという。「複素構造を持つ多様体は、位相構造も微分構造も持ちますが、逆は成立しません。位相構造を持つからといって微分構造を持つとは限らないし、微分構造を持つからといって複素構造を持つとは限らないのです。4次元多様体では、位相構造は同じでも微分構造が異なっていたり、同じ多様体の2つの微分構造で、一方は複素構造から得られるが他方はそうではないものが存在したりします。その辺りが4次元多様体の研究の非常に興味深いところですね」と早野さん。
位相構造を持つが微分構造を持たない4次元多様体の存在は、たとえば1952年に証明された「ロホリンの定理」より従う。また、1982年には、イギリスの数学者サイモン・ドナルドソン（1957～）が、複数の異なる微分構造を持つ4次元多様体が存在することを量子力学の「ゲージ理論」を用いて証明した。それにより4次元多様体の理論が大きく発展した。

ではなぜn次元多様体を研究する必要があるのだろうか。
「2次元空間である平面上で、2本の直線が交差しているとき、交差を解くことはできません。しかし、3次元空間に広げると、2本の直線は上下に分かれているので、簡単に交差を解くことができます。さらに次元を高めると、多様体を動かす自由度が増えるので、交差を解くなどといった操作が簡単に行えるようになり、多様体が扱いやすくなります」と早野さん。
実際、最先端の物理学では、4次元を超える「高次元空間」が存在すると考えられており、「超ひも理論」では、宇宙は時間という次元を含めると10次元ではないかと言われている。そのため、高次元を扱うトポロジーは重要な研究手法の1つになっている。
近い将来、早野さんたちトポロジーの研究者が、宇宙の形の謎を解明してくれる日がくるかもしれない。

数学者になるリスクは高いので、学部3、4年の頃は、自分が将来、数学者としてやっていけるかどうか強い不安感を抱いていました。周囲の先生方からは、「勉強と研究は、別の能力」という話をよく聞いていたからです。
私の場合、数学の勉強は時間さえかければできるという自負がありましたが、研究に関しては判断ができませんでした。そこで、早めに研究に取り組むことで、自分には、数学者としての資質があるかどうかを見極めることにしたのです。そのため、学部4年の後半から研究を意識して勉強をするようになりました。そして、修士1年のときには、本格的に研究を開始しました。数学にはいろいろな分野がありますが、研究論文を書き始めるまでの勉強に時間がかかる分野はできるだけ避けたいと思いました。ちなみに、数学者にならなかったとしたら、保険会社に就職してアクチュアリー（保険数理士）になろうかと考えていましたね。

公募で採用していただきました。北海道は食べ物も美味しく、ウインタースポーツも楽しめる最高の環境でした。しかし、任期が5年間の期限付きでしたので、期限を待たず2年半で、同じく公募で2016年に慶應義塾大学に移籍しました。

企業に就職する人や、中学・高校の教員になる人が多いと思います。とはいえ、私の分野に限っていえば、トポロジーを生かせる就職先はほぼないと言えるでしょう（笑）。一方で、私は現在、ゲーム会社の研究職の方と共同研究をしていますが、その方が、あるゲームソフトの開発を人工知能（AI）によって自動化することに取り組んでいて、その課題に、4次元多様体の研究でも重要な「特異点論」を駆使しています。現在、AIによる機械学習や深層学習が幅広い分野で使われていますが、特異点論が役立つ分野は結構あるように感じています。また、その方は、「数学の学習経験者は重用される」ともおっしゃっています。「単なるプログラミング技術であれば、誰でも習えばある程度できるようになりますが、プログラムの構造全体をより俯瞰的に理解する能力は一朝一夕には身に付かない。それを数学の学習経験者は身につけている」といいます。
確かに、数学というとキャリアパスが見えづらいかもしれませんが、就職に困ることはまったくなく、むしろ「数学に関する博士人材が欲しい」という企業も増えてきているように感じます。今やITを導入していない企業は少なく、幅広い業種において数学科出身者は引く手あまただと思います。

研究をしていく上では、自分の頭でとことん考え抜くことが重要です。そのため、日々のセミナーでは、学生に、自分の頭で考えて自力で答えを見つけ出してもらうように心掛けています。ですから、私の方から多少のヒントを出すことはありますが、答えは極力教えないようにしています。

現在、この3～4年ほど取り組んでいる解けない問題をいくつか抱えています。もちろん、それが解ければうれしいのですが、基本的には毎日楽しく研究できたら、それで十分幸せかなと思っています。解けないことを気に病んだり、身体を壊したりしてまで自分を追い詰めるようなことは決してしません。興味がある問題を興味のおもむくままに考えることが数学を楽しむコツです。したがって、「将来、この難問をこの手で解決してやるぞ！」といった野望などはありません（笑）。これからも楽しむことを第一に、数学と向き合っていきたいと思っています。