慶應理工の数論幾何 幾何学的直感を使って整数論の問題を考える

数学の予想問題に新たな進展をもたらす

人は論理と直感を組み合わせながらさまざまな課題に対応してきた。その直感、たとえば点や線などの幾何学的な図形を見たときに感じる直感を整数論の分野に活かす手法、それが数論幾何である。この数論幾何を用い、整数の性質を扱う整数論の問題に立ち向かう坂内准教授を訪ねた。

「数学の問題を解くときに問題を絵に描いたり、提示された図形に補助線を加えたりすることで直感が働き、問題が簡単に解けた、という経験があったりするかと思います。この図形に代表される幾何学の概念を使い、整数論の課題に取り組むのが数論幾何です」と、坂内さんは自らの研究分野について話す。
幾何学の概念とはどういうことだろう。x2+y2=1 という方程式の有理数解を全て求める問題を例に説明しよう。もちろん、式を一生懸命にいじってこの問題を解くこともできる。しかし、この方程式が平面上に描く半径 1 の単位円を考えると問題はずっと見通しが良くなる（図 1）。（x,y）=（−1, 0）はこの方程式の有理数解である。点（−1, 0）を通る直線を 1 つ考えると、この直線は点（−1,0）以外に単位円ともう 1 点だけで交わる。この直線の傾きが特に有理数であれば、新たに与えられた交点は方程式の有理数解を与える。逆に方程式の有理数解を与えると、点（−1, 0）を通り傾きが有理数の直線が得られる。すなわち、方程式の有理数解は、傾きが有理数の直線と 1 対 1 に対応している。
このような幾何学的な考え方を取り入れた数論幾何は、数の性質を研究する整数論とともに発展してきた。整数論は数学の中でも長い歴史があり、整数の素朴な問題を考える上でも、背後には高度に積み重ねられた論理体系が存在する。応用も広く、最近では暗号や認証技術に活用されている。整数論の問題への 1 つのアプローチが数論幾何で、多くの問題解決への貢献が期待されている。実際、数論幾何の手法はフェルマーの最終定理やモーデル予想（＊1）の証明に使われてきた。
「私がテーマとして取り組んできたのが “ポリログ”という幾何学的な対象です。ポリログにはいくつもの整数論的に重要な量を統一的に捉える力があります。数学の予想問題には、一見すると関係なさそうな 2 つの量の関係を明らかにするという問題が多数存在します。そのような問題に対し、その双方を統一的に説明できる上位の概念を提示できれば、両者の関係の解明に一歩近づけます。ポリログはその架け橋的役割を担えるのです」。

坂内准教授が取り組むポリログは、“幾何学的な対象” の一種である。その概念を説明するため、ここでは “幾何学的な対象” を “図形” と読み替えてみよう。一般に図形があれば、その図形から「面積」や「頂点の数」など、様々な量を導きだすことができる。したがって、比較したい整数論的に大事な量が複数あった場合、これらの量を内在する図形を見つけることができれば、もともとの量を同じ図形の構成要素として捉えることで、異なる量を関係づける数式などを見いだすことができる。ポリログは、整数論的に大事な量を内在的に持っている図形なのである。
「たとえば、A という性質や量をどんどん抽象化したら、シンプルな図形で表せたとします。次に A とは全く違って見える B という性質や量を同じ手法で抽象化します。それが A と同じシンプルな図形で表せた場合、A と B の見た目はバラバラですが、本質的な部分で両者は同じであり、A と B を統合するルールの存在を期待することができるのです」。このような抽象化によって得られる幾何学的な対象を、数論幾何の発展に大きく貢献したグロタンディーク（＊2）は“モチーフ（Motive）” と呼ぶ。ポリログは、数論幾何の重要な概念であるこのモチーフの一例である（図 2）。
「グロタンディークが使うモチーフという言葉は、実は画家セザンヌ（＊3）の絵画評から引用されています。セザンヌはうつろい行く光と影で描写する印象派から距離を置き、実際の絵画対象（モチーフ）を確実に捉えるという独自の絵画様式の確立に尽力したそうです。表面的な事象ではなく本質を捉えるのが、数論幾何のモチーフです」。

研究内容の奥深さに対して坂内さんがテーマとしてポリログを選んだ理由はシンプルでわかりやすい。
「一番の理由は、ポリログの素朴さにひかれたからです」と坂内さんは微笑む。一般に数学者といえば、研究に没頭する世捨て人的な印象が色濃い。つい孤高を愛する数学者をイメージしてしまうが、実際の状況は必ずしもそうではない。
「高校などで数学の問題を解くときの感覚から、数学の研究は 1 人で孤軍奮闘という印象があるかもしれません。しかし実際のところ数学は、世界中の数学者と様々な考えを議論することを通して研究を進めていく、非常に国際性の高い分野です。私の最近の一連の研究も、ドイツ・レーゲンスブルグ大学の G. Kings教授と共同で行っています。今私の研究室でも、各人それぞれのテーマを持ちながらもお互い議論し合って勉強や研究を進めています。仲間がいるという状況を楽しみつつ、そのメリットを最大限活用しています」。
坂内さんは、ポリログの発展が問題の本質解明に役立つ重要な鍵になると考えている。なにより、様々な性質や量の抽象化を通して統一的なルールを見出すという発想に、未解決の予想問題に対する美しい解法を提供する可能性を見ているのである。

2歳からです。私の両親はともに数学者で、父がアメリカのオハイオ州立大学から呼ばれたことをきっかけに、家族全員で渡米しました。1970年代前半のことです。以後、幼稚園の2年間を除いてアメリカにいて、高校2年の2学期の初めに日本に戻ってきました。

数学に本格的に興味を持ったのは高校に入ってからでした。当時はやってみたいと思うことがたくさんありました。アインシュタインの相対性理論などの話を聞きかじって物理を勉強してみたいと思ったり、生態系のモデリングの理論を勉強してみて、人間社会についてもうまくモデリングできたらいいなあと思ったり、人間よりも優れた人工知能（AI）を作って友達になってみたいと考えたり、自然言語よりも正確に多くの情報を伝える言語を作ってみることができないかと考えてみたり、理想的な社会制度を立案することで世界平和を達成できたらいいなあと考えたり、映画の台本や小説を書いてみたいと思ったり、とにかく将来、何でもかんでもやりたいと思っていました。やることを限定することはもったいなく理不尽に感じ、何とかならないものかと考えていました。そんなとき、数学がいいかも、と思える出来事に遭遇したのです。
そのきっかけは化学の授業でした。化学反応による物質の濃度変化の計算に、ある微分方程式が現れたのです。それは数学の授業で計算したばかりの方程式で、その時は何とも思いませんでした。しかし、その直後に受けた生物学の大学講義でも、生態系のモデルで動物の個体数を計算するときに、全く同じ微分方程式を解くことになりました。あれ？と思いつつ、さらに経済学の授業で全く同じ微分方程式が利用され、数学の１つの抽象的な微分方程式が、幅広い分野で具体的な意味を持って使われている様子を目の当たりにしたのです。何をするにも数学は使えると思いました。
その思いは、ヘルマン・ヘッセの『ガラス玉演戯』（※）を読んでから、さらに膨らみました。この小説は架空の未来の世界の物語で、数学を始めとして物理化学法則、音楽、詩や芸術などを全て統合して作られた「ガラス玉演戯」と呼ばれる知的芸術遊戯の名人の伝記、という形で書かれています。数学を究めることができれば、化学・生命現象や経済学だけでなく、音楽・文学や芸術までをも全て捉えることができる！と思えるようになったのです。

最初に、学生がとても元気だと思います。2007年のフランス滞在中に、ケンブリッジ大学と慶應義塾大学の共催で開かれたUK-Japan Winter Schoolという整数論の研究集会に参加したとき、慶應の学生さんにとても良い印象を持ちました。
また、多くの大学では数学は理学部の中にあり、私がいた東京大学や名古屋大学はさらに数学だけの独立した大学院で、他の学部から離れていたように感じました。でも、慶應では数理科学科は理工学部の中にあり、工学系の学科とも接点を持つことができます。他学科の教員と議論する機会も多く、理学と工学との相乗効果があると思います。元気のいい学生が多く、のびのびとした発想力にあふれているのも、こうした環境があるからかもしれませんね。