慶應理工の適応アルゴリズム 信号から情報を抽出する万能フィルタの探求

信号から役立つ情報を取り出す適応フィルタとは

画像、音、電波、脳波、さらには株価の変動など、世の中にはさまざまな信号（情報）が存在する。その信号を数値化することによって欲しい情報だけを抽出し、その事象の特徴を見出したり、予測を立てたりするのが信号処理の役割だ。湯川正裕さんは、森羅万象から得た複雑な信号を、数理的なアプローチによって扱いやすい状態にし、必要な情報を抽出する際に役立つ数理体系の構築を手掛けている。

「仮に、この世から信号処理がなくなったとしたら、テレビも携帯電話もデジタルカメラもなく、飛行機も飛ばない世界になるでしょう。医療機器のMRI も信号処理の産物ですし、最近話題のドローンやアンドロイドロボット、ビッグデータ解析なども信号処理がなければ実現できません。つまり、信号処理というのは現代人にとってみれば、空気のように不可欠な存在なんですね」と、湯川さんは語る。
例えば、携帯電話の音声であればマイクで、デジタルカメラで撮影した画像なら撮像素子で、それぞれ電気信号に変換される。こうした電気信号を数値の列に置き換えれば、すべて数学的な処理が可能になり、いわゆる信号処理の対象となるのだ。
「実際に私が手掛けてきたのは、音響と通信の適応信号処理です。一例として、エコーキャンセラがあります。これは、テレビ会議や携帯電話の通話などで、自分がしゃべった声が相手のマイクを通じて遅れて返ってくると耳障りなため、返ってきた音声だけをカットするというもの。信号処理によって、返ってきた自分の音声は不要なので引き算して、相手の音声のみを届けるのです。通信の場合も同様に、同時に基地局に届く複数の通信データを、適応信号処理でユーザーごとに切り分けて届けます。その信号処理に欠かせないのが、必要な情報だけを取り出す『適応フィルタ』です」。

適応フィルタは、まさにコーヒーのフィルタのように、数学的なフィルタを通して、必要な情報だけを取り出す役割を担う。
「音声であれば、観測された音声（ｙ）から欲しい音声（ｘ）を取り出せる関数（ｆ）を推定するのがフィルタの役割。つまり、ｙからｘを推定したいわけですから、関数ｆを求めればいいのです」と湯川さんは説明する。
ただし、「適応」とあるように、人が動くなどして時々刻々と変化する状況に応じて、柔軟にフィルタの係数を変化させなければならない。つまり、計算量を抑えつつ、リアルタイムに欲しい情報にできるだけ近づけた関数を表現できるかどうかが、適応フィルタの良し悪しを左右することになる。
ところが、実際の事象は非常に複雑で、数学的に扱うのが難しい非線形性を持つ場合がほとんどだ。非線形とは線形ではない、簡単に言えば、入出力が比例関係にないこと。非線形なデータを扱おうとすると、とたんに計算量が増えて、素早く情報を取り出すことが難しくなる。
「非線形なデータに対するアプローチとしては、ヴォルテラフィルタやニューラルネットワークなどがありますが、前者は計算量が膨大になる、後者は局所最小解に陥るという欠点があります。そこで、私が採用したのが、カーネル法を応用した『再生核（カーネル）適応フィルタ』という手法です」。
カーネル法とは、データを高次元の特徴空間に写像する（例えば、２次元データを３次元へ写す）ことで、データ群を別の扱いやすいデータ群へと変換する手法のことをいう。これは顔認証などのパターン認識やビッグデータ解析などに広く使われている手法で、従来は、集めた情報をすべてまとめて一度に処理するバッチ処理に採用されてきた。最近では、時々刻々と新しいデータが取得されるオンライン処理でも活用されている。
「再生核を説明するのは専門的で難しいので割愛しますが、このカーネル法が優れているのは、関数の値を『内積』で表現できるところにあります。内積の簡単な例は、２つのベクトルの要素を順番に掛け合わせ、それらをすべて足し合わせたもの。これにより、２つのベクトルの相関が表現できるようになります。そして、内積で表現できれば、線形モデルの知見を存分に用いることができるようになるのです」と湯川さんは強調する。
つまり、扱うのが難しい非線形のデータを、計算しやすい線形の理論によって取り扱える点が、この手法の最大の特長と言える。

この再生核適応フィルタをベースに、凸最適化と呼ばれる分野の最新の知見を駆使して湯川さんが開発したのが、「多核適応フィルタ」である。
「イメージとしては、再生核の一種であるガウス核と呼ばれる山形の曲線の足し合わせで関数の波形を近似するという手法です。幅が広く低い山や幅が狭く高い山など、いくつものガウス核をあらかじめ用意しておいて、その高さを決める係数を並べて行列にします。そして、なるべく少ない山の足し合わせで関数を推定していくのです。
その際、推定したい関数にフィットする山を自動的に特定し、それ以外の大多数の山の係数をゼロにする仕掛けが １ つ の ポ イ ン ト で す。 ゼ ロ を た くさん含む行列のことをスパース行列（sparse はまばらという意味）と言いますが、情報をうまくまとめること（スパース化）で、最適なモデルの選択を可能にするのです」。
これにより、非線形関数の形に合わせて、ガウス核の幅を適応的に自動調整することが可能になり、関数の形が時間の推移とともに変化しても自在に対応できるようになった。より少ない山の数で高精度な推定ができるという。
「この手法を使うと、例えば、太陽光発電において、過去の発電量のデータから、リアルタイムに未来の発電量を高精度に予測することが可能です」。
その湯川さんの研究の数理的基盤となっているのが、「非拡大写像の不動点理論」というものだ。
「不動点とは、写像 T を施しても動かない点、つまり Tx = x となる x のことを言います。また、２点間の距離が写像を施した後に拡大しないという性質を非拡大性と言います。自然科学から工学まで、様々な領域において、問題の解をある写像の不動点として表現できることがわかってきています。そして、その写像が非拡大性を持つとき、この非拡大写像を使って不動点、つまり問題の解を求めるアルゴリズムを容易に設計できるのです。多核適応フィルタでは、時間の推移とともに変化する未知の関数を、時々刻々と入手されるデータを用いて作られる写像の不動点として表現し、これを手がかりに未知の関数を推定していくわけです」。
将来的には、どんな複雑な事象にも対応できる究極の「万能フィルタ」をつくりたいという湯川さん。今年に入って複数の論文が IEEE（米国電気電子学会）のジャーナルに掲載されたり、信号処理のトップジャーナルのエディターに抜擢されたりと、国際的な評価も高まっている。分散型信号処理やビッグデータ解析、ディープラーニングといった流行の研究を横目に、その基盤となる数理体系の構築を目指して、日々研究を続けている。

どうやらおしゃべりな子どもだったみたいで、保育園の先生に家で起きた出来事を、逐一、話していたようです。しかも、はきはきと、わかりやすく話していたようで……自分ではあまり覚えていないのですが、両親は「かなり恥ずかしい思いをした」と言っていました（笑）。
それから、いつも４つ上の姉の後をついて歩いては、一緒におままごとなどをしていて、「金魚のフン」と言われていましたね……（笑）。
出身は神奈川県南足柄市です。父も母も公務員で、父は小田原市役所、母は大蔵省印刷局に勤めていました。理数系の科目が得意だった両親の遺伝子を受け継いだのか、幼稚園の頃から暗算が得意だったと聞いています。ただその頃の記憶はあまりなくて、覚えているのは小学生の頃に、母の買い物について行って、金額を暗算していたことくらいでしょうか。
数学的な興味という意味では、なぞなぞとかクイズ、パズル、算数に関する本は好きでよく読んでいました。それ以外は、『ドラゴンボール』や『聖闘士星矢』など、流行の漫画を読むくらいで、読書はあまりしない子どもだったと思います（笑）。
小学校に入学すると珠算を習うようになり、先生の指導がよかったこともあって、中学２年まで続けました。珠算は初段、暗算は三段を持っています。競技会ではいつも上位に入賞していて、小学６年生の時には、読み上げ算で、神奈川県大会で優勝したこともあるんですよ。昔ほどではありませんが、今でも二桁くらいの足し算やかけ算は暗算で計算します。
算数や数学を友達に教えていたこともあります。今から思えば、友達に教えることで、自分の勉強にもなっていたのでしょうね。友達には感謝しています。

いえ、家の周囲に田んぼが広がっていて、よく、田んぼや花畑など外で遊んでいました。小学校では休み時間の度に、校庭にダッシュしていって、クラスの皆とボール遊びをするような、活発な子どもでした。学校に行くのが好きで、朝、6時に登校しては、友達と一緒に持久走の練習をしていたこともあります。そのほかにも、クラブで野球をしたり、スイミングスクールで水泳をしたり、身体を動かすのは好きでしたね。中学では卓球部のキャプテンを務め、県大会にも出場しました。身体を動かす分、睡眠もよく取っていました（笑）。
一方で、ファミコンやゲームボーイに夢中になった時期もありました。飽きるまでやって、中学に入る頃には、本当にすっかり飽きてしまい、ゲーム遊びは卒業しました（笑）。

友人のお父さんの薦めと、予備校のチューターの意見を参考に選びました。この頃には、将来は情報系や数学系の知識を使った仕事をしたいと漠然と考えるようになっていました。
ただ、低学年のうちはそれほど真剣に勉学に励んだわけではありませんでした。フーリエ変換やラプラス変換など、理論系の講義には興味を持って出ていましたが、まだ、何を勉強したらいいのか、あまりピンときていなかったのだと思います。そうしたことから、学部生の頃は、部活動とファストフード店でのアルバイトに精を出していました。ファストフード店でのバイトは、他大学の学生との交流の場であり、サークル活動のように楽しい時間を過ごしました。
それから、大学に入ってから始めたのが、競技ダンスです。きっかけはテレビ番組の影響でしたが、マイナーなことというか、皆がやっていないことをやってみたいという思いがあったんですね。競技ダンス部には各学年で男性は4人程度しかいませんでしたから、相当にマイナーですよね（笑）。そういう意味では、珠算や卓球に通じるところがあるかもしれません。研究はどうかというと、信号処理は世界的にみてすごくメジャーな分野なんです。でもその中で私は他の人が目をつけていないところに焦点を当てて研究しています。
競技ダンスではラテンが専門でしたが、結局、10年ほど続けました。実は留学先にイギリスを選んだのも、競技ダンスの影響という噂も（冗談）。もっとも、イギリスでは競技ダンスではなく、もう少し趣味的な社交ダンスに近い練習会に、毎週、顔を出していたのですが……。

小さい頃から食べることが好きで、食事が一番の息抜きですね。それから、至福の時は、コーヒーを入れてスイーツを食べながら、ジャズやラテンなどの音楽を聴いている時。学生とランチに行くのが日課で、コーヒーブレイクをともにしたりもしています。

広報が充実していて、私のような若手教員の研究をエンカレッジしてくれるのは非常にありがたいですね。学生にとっても、低学年のうちから教員と直接かかわる機会が多く、教員との距離が近いのは、とても恵まれた環境だと思います。さまざまなサポート体制があって、早くから進路が意識できるのも、まさに慶應義塾ならではの良さでしょうね。